Già i filosofi greci
posero l'infinito, che essi chiamavano "apeiron", come
principio della realtà. Ma l'infinito matematico appariva
qualcosa di più temibile, inclassificabile, di in-definito.
I Pitagorici scacciarono dalla loro setta Ippaso di
Metaponto, colpevole di aver rivelato l'esistenza dei numeri
irrazionali.
Nell'800, il matematico Georg Cantor consacrò i propri studi
al tentativo di rendere definito e operativo in matematica
un concetto come quello di infinito. Mosso anche da
interessi filosofici e addirittura teologici, Cantor formulò
una nuova categoria di numeri, i numeri "transfiniti". Un
insieme infinito, secondo la definizione di Cantor, è un
insieme che possiede almeno un sottoinsieme con cui è in
corrispondenza biunivoca. Insomma, per gli insiemi infiniti
il tutto non è sempre maggiore delle parti. Le conseguenze
di questa scoperta furono enormi. Oggi l'infinito è un
oggetto familiare per gli scienziati, uno strumento che pone
alcuni problemi e permette di risolverne molti altri. Ma al
profano, e forse anche allo scienziato, il salto dal finito
all'infinito continua a dare come una vertigine. Per l'uso
che ne fanno le scienze, l'infinito è un rapporto e non
un'idea, uno strumento e non una essenza. Possiamo allora
dire che è possibile conoscere attraverso l'infinito, ma non
conoscere l'infinito? E i nostri sforzi in questa direzione
saranno sempre inutili, frustrati e destinati allo scacco,
come sosteneva Kant?
Non so se avete sentito parlare
di Nicola Cusano, che non a caso era un cardinale . Perché c'è
un collegamento tra l'infinito e Dio. È stato per lo meno così
proposto. Ebbene Cusano verso il 1450 nelle sue opere - La
dotta ignoranza e Le congetture - fu il primo a
introdurre il concetto d'infinito. Oggi in matematica l'infinito
è qualche cosa di abbastanza naturale, lo si usa
quotidianamente, però il concetto d'infinito matematico è più
recente. Verso la fine dell'Ottocento, con questo signore, di
cui abbiamo sentito per lo meno il nome nel filmato: Cantor, che
è colui che ha iniziato la teoria matematica dell'infinito.
Quindi queste sono un po' le tre tappe; i Greci che lo
rimuovevano, Cusano che in realtà l'ha introdotto in maniera
filosofica teologica, e poi Cantor, che invece lo ha introdotto
in maniera matematica.
DOMANDA: Si parla di
infinito matematico e di infinito filosofico. Esistono dunque
diversi tipi di infinito o è lo stesso preso in considerazione
sotto diversi punti di vista?
Ma guarda questo è vero per
molti concetti che sono filosofici, ma che poi vengono usati
nella scienza. Pensa alla "causalità", al rapporto tra causa ed
effetto. L'infinito è uno di questi. Ma il modo in cui i
filosofi considerano l'infinito forse non è quello che usano i
matematici e gli scienziati. Gli scienziati lo usano
effettivamente come infinito dei numeri. Dico "dei" al plurale
perché, la cosa può sembrare strana, ci sono tanti infiniti. I
matematici hanno scoperto che di infiniti ce ne sono infiniti,
che è una specie di circolarità. E il primo che si è accorto che
forse più di un infinito poteva esistere è stato Giordano Bruno.
Siamo qui in una scuola, che è intitolata per l'appunto a
Giordano Bruno. Se Voi, probabilmente avete letto le opere di
Giordano Bruno, ebbene ne La cena delle ceneri, fa uno
strano ragionamento. Dice: supponiamo di avere una palla, come
la terra. La terra viene illuminata dal sole, ma soltanto una
parte della terra viene illuminata dal sole. Man mano che ci si
allontana, il sole è più lontano dalla terra, una parte sempre
maggiore della sfera viene illuminata. Ora, domanda: quant'è la
parte della sfera che al massimo può venire illuminata? Se il
sole fosse all'infinito, allora illuminerebbe esattamente metà
della sfera. Ora Giordano Bruno si chiede: ma poverina l'altra
metà della sfera che cosa fa? Rimane in ombra? Allora l'idea di
Giordano Bruno è: quando arriviamo all'infinito, facciamo un
passo in più, incominciamo ad andare oltre questo primo infinito
e il sole comincerà a illuminare la parte di dietro della sfera.
Quando s'arriva all'infinito per la seconda volta tutta la sfera
è illuminata. Non c'è bisogno di dire che questa è, ovviamente,
è un'idea semplicemente metaforica, non ha nessun senso. Però è
la prima volta nella storia in cui qualcuno pensa che ci sia
effettivamente la possibilità di avere due o più infiniti. I
matematici oggi sono arrivati ad averne addirittura infiniti. E
chi scoprì che ci sono infiniti infiniti fu proprio quel Cantor
( Georg Cantor 1845 - 1918) di cui abbiamo già citato il
nome prima.
DOMANDA: In che modo
un'entità superiore, quale Dio, dovrebbe essere infinita? Esiste
un rapporto tra religione e scienza?
Qui ci sono due domande.
Naturalmente il rapporto tra religione e scienza certamente
esiste, non fosse il fatto che, tanto per citare appunto
Giordano Bruno, nel momento in cui le sue teorie cominciano a
postulare infiniti mondi che esistono nell'infinito spazio per
un infinito tempo, Giordano Bruno finisce al rogo. Quindi
effettivamente rapporti ci sono, ma non sono sempre stati
rapporti ottimali. Però il problema dell'infinito in teologia è
un problema interessante, perché fino a quando l'infinito non
c'era, o meglio, fino a quando l'infinito veniva rimosso -
abbiamo detto prima che i Greci in qualche modo lo rimuovevano
- si pensava che Dio non esistesse perché non c'era l'infinito.
Tutte le dimostrazioni dell'esistenza di Dio di San Tommaso
nella Summa theologiae: le cinque vie che portano a Dio,
sono tutte basate sul rifiuto dell'infinito. Nel momento in cui
Cusano, un cardinale come dicevo prima, riconduce il concetto di
infinito, ecco che si fa un voltafaccia. Prima Dio c'era perché
l'infinito non c'era, nel momento in cui arriva l'infinito Dio
c'è perché c'è l'infinito. Quindi quello mi sembra un po' un
modo di risistemare sempre le cose a proprio vantaggio. Però
appunto dal 1450 fino alla fine dell'Ottocento, l'infinito fu
identificato per l'appunto come qualche cosa che sta oltre il
finito, qualche cosa che sta oltre il nostro mondo e dunque con
il trascendente, con Dio. C'è una storiella interessante, che
Vi posso raccontare: quando Cantor scoprì che c'erano più
infiniti, Cantor, nonostante il suo nome, che è ovviamente di
origine ebraica, era cristiano, battezzato, quindi se ne
preoccupò. Ovviamente era la fine dell'Ottocento, non c'era più
pericolo di andare al rogo, però volle sapere che cosa la Chiesa
pensava di questo fatto, la Chiesa cattolica. Andò in Vaticano,
portò i suoi lavori e disse al Santo Uffizio, che era governato
allora da un cardinale tedesco: "Ma Eminenza io ho qui lavori
di matematica che mi dicono che ci sono più infiniti, in realtà
tanti infiniti". Il cardinale disse: "Ma, insomma io la
matematica non la conosco quindi do ai miei segretari i suoi
lavori perché se li studino". I segretari erano dei domenicani -
Voi sapete che il Santo Uffizio si è basato spesso sui
domenicani per fare i suoi affari -, e i domenicani si presero
due anni, perché ovviamente hanno dovuto cominciare a studiare
la matematica la teoria degli insiemi eccetera. Dopo due anni
dissero al cardinale: "Guardi, secondo noi, non c'è problema,
non c'è pericolo per la fede". Allora Cantor venne convocato in
Vaticano e il cardinale del Santo Uffizio gli disse: "Guardi lei
può parlare di questi infiniti, purché non li chiami infiniti,
perché effettivamente questo darebbe una brutta idea teologica,
cioè farebbe una connessione con la divinità". Allora , Cantor
scelse un nome, che oggi non sarebbe tanto corretto
politicamente perché ha delle implicazioni un po' diverse, li
chiamò "transfiniti" e, per il colmo dell'ironia, oggi i
matematici chiamano questi transfiniti "cardinali". Quindi,
insomma il cerchio. L'idea del cardinale del Santo Uffizio era
che oltre tutti questi transfiniti là, alla fine, c'è il vero
infinito assoluto. Chiesero a Cantor cosa ne pensava : "Ma per
noi matematici quello non c'è. Non esiste un infinito assoluto
per i matematici, perché è contraddittorio" e il Santo Uffizio
disse: "Va bene quello lì è nostro". Quindi in qualche modo ci
sono delle relazioni. La chiesa si è sempre preoccupata , sempre
dal momento in cui l'infinito è stato in qualche modo
identificato con la divinità. Oggi però i matematici non credono
che l'infinito matematico sia in qualche modo un'immagine
dell'infinito metafisico. Pensano semplicemente che siano
oggetti matematici e quindi li tengono abbastanza distinti.
DOMANDA: Quali innovazioni
ha avuto il pensiero di Giordano Bruno sull'idea di infinito che
si era avuta fino allora?
Giordano Bruno era un seguace
di Cusano. Cusano era vescovo di Bressanone dove si parla il
tedesco. Però Cusano aveva fatto un sacco di pasticci dal punto
di vista filosofico. Se Voi leggete: Le congetture e
soprattutto: La dotta ignoranza, non a caso l'ignoranza
arriva già nel titolo. Cusano credeva che nell'infinito tutto
diventasse uguale. Lui credeva che un triangolo infinito fosse
uguale a una retta, fosse uguale a un cerchio infinito, e così
via. Giordano Bruno, che era un seguace per l'appunto di Cusano,
però in tempi diversi, non più nel 1450, ma nel 1600,
introdusse, come ho detto prima, l'idea di due infiniti. La sua
idea dell'infinito era molto moderna. Lui aveva questa idea
dello spazio infinito, che l'universo non fosse soltanto una
porzione finita in qualche modo, ma che si estendesse in tutte
le direzioni senza limiti. È la stessa cosa per il "tempo":
anche il tempo doveva essere infinito e soprattutto - questo
certamente non avrebbe dato gran fastidio alla chiesa - però
quello che diede fastidio alla chiesa fu che Giordano Bruno usò
il concetto di infinito anche per i mondi. Lui sosteneva che ci
fossero infiniti mondi, che il sistema solare fosse solo un
esempio di sistema in cui potesse esserci la vita e che in giro
per l'universo ci fossero infiniti di questi altri sistemi, in
cui probabilmente ci fossero infiniti altri esseri, specie
viventi, che avessero l'intelligenza. Questo naturalmente
provocò dei grandi problemi teologici. Sant'Agostino già lo
diceva, pensava che non fosse possibile che ci fosse vita in
altri pianeti, perché se ci fosse vita in altri pianeti, allora
Dio avrebbe dovuto incarnarsi anche negli altri pianeti, salire
e scendere sulla croce, sarebbe diventato un saltimbanco della
croce. E questo non si può dire. Gesù Cristo non era un
saltimbanco per lo meno per Sant'Agostino. E invece Giordano
Bruno introduce quest'idea, per l'appunto la possibilità che ci
siano infiniti altri luoghi nell'universo, in cui la vita si è
evoluta. Già anche Cusano lo faceva, però Cusano era appunto un
cardinale, vicario tra l'altro, cioè il secondo in comando,
diciamo così. Quindi aveva un alto potere ed erano altri tempi.
Con Giordano Bruno questa idea non andò bene e uno dei crimini,
diciamo così, che gli furono imputati e che poi lo portarono al
rogo, fu proprio questo, cioè il fatto di aver creduto che ci
fossero infiniti mondi e infinite altre specie. Quindi questo è
un momento in cui l'infinito effettivamente lascia la filosofia
e incomincia ad entrare nella scienza e quindi comincia a
parlare di ciò che effettivamente succede nell'universo. E
questo evidentemente la Chiesa non poteva accettarlo.
DOMANDA: In che cosa
differisce la nostra idea di infinito da quella delle civiltà
orientali o politeiste?
Le civiltà orientali hanno
concezioni abbastanza diverse. Il problema è che noi non abbiamo
accettato l'infinito fin dal principio, noi occidentali intendo,
che ci rifacciamo alla cultura greca. Per esempio se si va in
India - potremo forse poi un giorno fare una trasmissione de
Il Grillo, andare tutti in India e vedere, per esempio, i
Giainisti sono una antichissima religione, sono addirittura
precedenti all'Induismo, che oggi è la religione di maggioranza
in India. Ebbene questi giainisti, già credo verso il mille
avanti Cristo, pensavano che l'universo avesse una durata
infinita, esattamente come dicevamo prima con Giordano Bruno,
cioè che non ci fosse stato un inizio e non ci fosse stata una
fine. Il problema del monoteismo è che ci sono tanti tipi di
monoteismo, almeno quattro nella storia. Uno è finito male, nel
senso che è il monoteismo di Akhenaton in Egitto, che è durato
pochissimi anni e poi, con la morte di Akhenaton, del faraone,
che tra l'altro era il papà di Tutankhamon, che tutti conoscete
probabilmente. Ebbene quel tipo di monoteismo è durato molto
poco. Ma le cosiddette grandi religioni rivelate: l'ebraismo,
il cristianesimo e l'Islam arrivano tutte da una concezione in
cui c'è una creazione dell'universo. Se Voi prendete la Bibbia e
l'aprite alla prima pagina, al Primo capitolo, la Genesi,
inizia proprio così: "In principio Dio creò il cielo e la
terra". Allora l'idea che ci sia stata una creazione significa
che in realtà l'universo quando si va all'indietro nel tempo,
ovviamente può andare soltanto fino a un certo punto, cioè fino
agli inizi. Cioè il tempo non va all'infinito all'indietro. La
stessa cosa per la fine; Se Voi chiudete la Bibbia, saltando
magari quello che c'è in mezzo e andate a vedere L'apocalisse,
ebbene L'apocalisse, che è l'ultimo libro della
Bibbia cristiana, il Nuovo Testamento, ci raccontano
che ci sarà la fine dell'universo, la fine del mondo e il
Giudizio Universale. Dunque il tempo in realtà è limitato, è
limitato tra un inizio, che è l'inizio della creazione, e la
fine, che sarà il momento del giudizio. Invece, in religione
appunto come il "Giainismo", questo non lo accettavano. Per loro
era possibile che l'universo fosse sempre esistito e che
esisterà sempre. Quindi non c'era bisogno per loro di un
concetto di creazione, non c'era bisogno del creatore, non c'era
nemmeno bisogno del distruttore. Altre religioni, per esempio l'induismo
a cui abbiamo accennato, hanno un approccio verso il mondo, che
è molto simile invece a quello delle religioni di cui ho appena
parlato. Per esempio l'induismo ha tre dei, che sono Brama,
Visnù e Shiva. E Brama è l'analogo di Dio Padre, cioè il
creatore, Visnù è colui che sostiene l'universo in essere, e poi
c'è Shiva, che è il distruttore, che lo porta alla fine. Ecco
che qui sembrerebbe che ci fosse una concezione finita del
tempo, cioè l'universo cresce, nasce cresce e finisce. Solo che
lì in realtà c'è questa danza che si ripete. Shiva distrugge
l'universo, ma poi questo universo rinasce. C'è questa idea,
questa metafora, che l'universo è semplicemente il battito di
ciglia di Visnù. Ed ecco che allora l'infinito ritorna in una
maniera un po' diversa, che è l'idea dell'illimitato, del
ciclico, del periodico, cioè il tempo circolare. L'universo
nasce, cresce, si distrugge, ma poi rinasce e così via, e allora
si entra in circolo. Mentre invece dal nostro punto di vista
occidentale, nelle nostre religioni, c'è un inizio e una fine,
ma una fine che sia definitiva. Dopo di che ci sarà l'eternità,
ma è un altro tipo di eternità. Quindi effettivamente, a seconda
del tipo di religione, ci sono concetti poi che arrivano nel
pensiero filosofico e scientifico dell'infinito. Questo è
interessante perché è la domanda che facevi Tu prima, cioè: qual
è il legame religione e la scienza. Molto spesso le idee
scientifiche nascono come miti, nascono come mitologia. In
particolare una delle versioni della mitologia, per coloro che
non credono, è proprio la religione. La religione presenta dei
miti, un pensiero che è ancora mitologico, certamente non
scientifico. Poi questi miti vengono in qualche modo utilizzati
e trasformati dalla scienza. Credo che oggi, per esempio l'idea
della nascita dell'universo, la creazione della Genesi, viene
tradotta scientificamente nell'idea del big bang, questa grande
esplosione con cui l'universo ha inizio. Quindi non è
stupefacente che religioni che hanno concezioni diverse della
divinità o dell'infinito, poi producano delle scienze, diciamo
così, che hanno delle idee diverse, anche dal punto di vista
dell'infinito.
DOMANDA: È possibile
definire il concetto di infinito senza ricorrere ad
un'eccezione negativa, quindi definendolo per ciò che è.
Ma dunque, ovviamente la parola
"infinito" contiene il negativo già agli inizi. Infinito
appunto, come dicevamo prima, significa "non finito". Però oggi
in matematica questo certamente è possibile. Abbiamo visto nel
filmato - non so se ve ne siete accorti -, che in realtà si è
data una definizione matematica dell'infinito. Naturalmente non
l'avrete capita. Adesso cerchiamo di spiegarla meglio. L'idea è
questa, viene da Galileo. Galileo è un altro di quelli che hanno
avuto problemi come Giordano Bruno, quando hanno cercato di
introdurre nella scienza idee che andassero contro la teologia.
Ebbene Galileo ne I discorsi, nella sua ultima opera,
scritta per l'appunto quando era, oggi diremmo agli arresti
domiciliari, dopo la sentenza del Santo Uffizio, Galileo fa
questo ragionamento. Dice: quanti sono i numeri interi? Lo
chiedo a Voi, ma potrete immaginare, se siamo in una
trasmissione che parla dell'infinito, i numeri interi sono
infiniti: lo zero, uno due, tre, eccetera. Quanti sono i numeri
pari, secondo Voi?
DOMANDA: Infiniti.
Infiniti. Però ce ne sono
certamente meno di quanti siano i numeri interi, perché di
numeri pari ce ne sono uno ogni due. L'idea sarebbe che i numeri
pari sono metà dei numeri interi. Eppure, tutti avete detto: i
numeri pari sono anche loro infiniti. Galileo fu il primo a
scoprire questo. Il fatto che a ogni numero corrisponde il suo
doppio, quindi a zero corrisponde zero, a uno corrisponde due, a
due corrisponde quattro, tre, sei, e così via, e che a ogni
numero pari corrisponde la sua metà, nel caso di due uno, nel
caso di quattro due, eccetera. Questo è quello che in matematica
si chiama una "corrispondenza biunivoca", che alla Vostra età
forse fa pensare più a sentimenti di natura diversa, però
"corrispondenza biunivoca" significa: ogni numero intero ha il
suo doppio, ogni numero pari ha la sua metà. Vedete che la
corrispondenza poi è di quel genere lì. E questa fu una
scoperta: il fatto che nell'infinito è possibile avere una
parte, cioè per esempio i numeri pari, che hanno lo stesso
numero di elementi del tutto. Questo oggi è stato rivoltato. Non
è più un paradosso dell'infinito, come invece veniva presentato
da Galileo, e da altri dopo di lui, bensì è diventato la
definizione dell'infinito. Ed è una definizione positiva, cioè
non è più negativa. Che cos'è infinito? Infinito è qualche cosa
tale che c'è una sua parte, che ha in realtà lo stesso numero di
elementi del tutto. E come si fa però a sapere qual'è il numero?
Sono tutte e due infiniti. Il numero si fa in questo modo: cioè
si mette in corrispondenza ciascun elemento della parte con un
elemento del tutto e viceversa. E quando questa "corrispondenza
biunivoca" esiste, si dice che i numeri sono uguali. E se c'è
una parte che ha lo stesso numero di elementi del tutto, questo
si dice che allora è l'infinito. Ed è la definizione che ancora
oggi viene usata in matematica.
DOMANDA: Ma quindi che senso
ha parlare di infinitesimo e infinito? Oppure quali sono le
differenze che ci sono tra infinitamente piccolo e
infinitamente grande?
Matematicamente si potrebbe
dire così: se Tu prendi un numero intero - due, tre, quattro,
eccetera - questo man mano che cresce va verso l'infinito. Ma
se Tu dividi uno per questi numeri - un mezzo, un terzo, un
quarto, eccetera - man mano che il denominatore cresce la
frazione diminuisce. Allora il rapporto fra l'infinito e
l'infinitesimo è che l'infinito è una quantità che cresce e,
quando questa quantità cresce se tu dividi uno per quella
quantità il risultato diminuisce. Ora però questo sempre
nell'ambito dei numeri interi o razionali: cioè due, tre,
quattro, un mezzo, un terzo, un quarto. Questi sono numeri
ancora finiti, in qualche senso. L'infinito sarebbe in qualche
modo il limite a cui tu arrivi quando continui a far crescere
qualche cosa, e l'infinitesimo è qualche cosa a cui tu arrivi
quando continui a far decrescere questa cosa. Però è una
concezione talmente paradossale che per lungo tempo fu
considerata addirittura contraddittoria. Newton e Leibniz, di
cui forse avrete almeno sentito parlare, sono i due grandi
matematici del Seicento e del Settecento, - coloro che
inventarono l'analisi matematica e il calcolo infinitesimale -
ebbene questi due signori basarono il calcolo infinitesimale,
come dice la parola, sugli infinitesimi. Pensavano che questi
infinitesimi esistessero, che ci fossero delle quantità che
fossero diverse da zero, ma più piccole di un mezzo, di un
terzo, di un quarto, eccetera. E naturalmente ci fu subito
qualcuno che si ribellò. Un vescovo, che si chiamava Berkeley
scrisse un libro, con un titolo tra l'altro lunghissimo, che non
stava certamente sulla costa del libro, e il titolo era
ovviamente una reazione dell'arcivescovo al fatto che questi
signori, Leibniz e Newton, erano tanto schizzinosi, quando si
trattava di parlare di concetti teologici - la divinità,
eccetera - poi però quando parlavano di matematica usavano
questi concetti abbastanza strani, come l'infinitesimo e
l'infinito. Quindi il vescovo li bacchettò duramente. Ed
effettivamente i matematici in qualche modo rimossero questi
concetti, tipo l'infinitesimo, e così via, e anche l'infinito. È
solo nella modernità, dall'Ottocento in avanti, che queste cose
sono entrate a far parte ormai del nostro bagaglio. Gli infiniti
molto prima. Sembra molto più facile pensare all'infinito che
non all'infinitesimo. Però mentre gli infiniti entrarono appunto
nella storia con Cantor, di cui Vi ho parlato prima, quello che
andò al Santo Uffizio - quindi verso la fine dell'Ottocento, gli
infinitesimi sono stati riabilitati, se così vogliamo dire, in
termini politici, soltanto molto recentemente, nel 1960. Sono
solo quarant'anni che i matematici hanno capito come usare gli
infinitesimi in una maniera che non fosse contraddittoria. Però
oggi possiamo dire effettivamente che ci sono delle teorie, dei
concetti che permettono di parlare sia dell'infinito che
dell'infinitesimo in maniera attuale, come se queste cose
esistessero veramente. Certo questo con la vita quotidiana ha
poco a che fare, intendiamoci, però per lo meno dal punto di
vista matematico ci permette di fare calcoli in maniera molto
semplificata.
DOMANDA: Come facciamo, noi
che abbiamo una mente finita, a pensare all'infinito?
Questa è, ovviamente, una delle
obiezioni che venivano fatte, per esempio, da Pascal e anche da
Cartesio. Era anzi una delle dimostrazioni dell'esistenza di
Dio. Il fatto di sapere o di credere che la nostra mente sia
finita è che però, nonostante il fatto che sia finita, abbia la
possibilità di pensare l'infinito. E allora sia Cartesio che
Pascal consideravano questo come la dimostrazione del fatto che
ci fosse qualcosa di fuori e che questo qualche cosa esterno
riflettesse la sua infinità in questa nozione, che ci veniva
messa dentro la zucca, per così dire. Oggi ovviamente non
pensiamo più questo. Come dicevo prima, una volta l'infinito era
considerato come un limite del pensiero. Oggi invece viene
considerato - se posso usare uno di questi trucchi dialettici
che usano spesso i filosofi - come "un pensiero del limite".
L'infinito noi lo pensiamo, nonostante la nostra mente sia
finita, perché possiamo immaginarci quali sono i limiti, e
costruire una teoria su quali sono i nostri limiti. L'idea è
che effettivamente si possa pensare ai nostri limiti e che di
questi limiti si possa fare una teoria. Non so se si è capito,
ma comunque questa è la sostanza.
DOMANDA: In che modo l'arte
contemporanea e la letteratura hanno cercato di rappresentare
l'idea di infinito e come questa ha influenzato il nostro
pensiero?
L'infinito è usato moltissimo
in letteratura, a volte anche in modi un pochettino strani. Non
si vedono, sono nascosti. Ma pensate al paradosso di Zenone.
Forse molti di Voi lo conoscono, cioè Achille e la tartaruga:
Achille che dà un vantaggio, dieci metri alla tartaruga, e poi
dice: "Corri pure che adesso ti prendo subito " e poi si scopre,
nel paradosso, che in realtà non la potrà mai più raggiungere,
perché nel momento in cui Achille percorre dieci metri che ha
dato di vantaggio alla tartaruga, la tartaruga si è mossa di un
metro, lui percorre il metro, lei si è mossa di dieci
centimetri, lui percorre dieci centimetri, lei si è mossa di un
millimetro, e così via. Questo è un paradosso, ovviamente. Ma
questo paradosso è basato sul concetto di infinito. È
paradossale proprio perché c'è questa idea che lo spazio venga
diviso fino all'infinito, e che quindi non si possa percorrere
in un tempo finito una infinità di passi. Cosa c'entra questo
con la letteratura? Beh, moltissima letteratura si è basata ad
esempio sul paradosso dell'infinito. Uno dei grandi romanzi del
Settecento che è Tristam Shandy non so se lo avete mai
letto, che, tra l'altro, inizia in una maniera bellissima, è
l'autobiografia di questo signore, Tristam Shandy. E
l'autobiografia comincia ovviamente secondo Voi quando? Quando
deve cominciare un'autobiografia?
DOMANDA: Dalla nascita.
In realtà Voi siete esistiti
per un certo periodo prima della nascita, dal momento del
concepimento. E quindi la prima scena di questo romanzo
meraviglioso del Settecento inglese, è la scena in cui papà e
mamma fanno delle cose che non si possono dire in televisione.
Tra l'altro è una scena molto interessante, perché mentre
stanno facendo queste cose, la mamma dice al papà: "Hai caricato
l'orologio?" e il papà dice: "Ma insomma questo forse non è il
momento più adatto per parlare dell'orologio. Questo povero
bambino che nascerà, perché abbiamo fatto queste cose avrà dei
problemi per tutta la vita perché noi ci siamo distratti nel
momento cruciale, parlando dell'orologio". Ebbene Voi capite che
se un'autobiografia incomincia in questo modo, prima che si
arrivi al dunque passerà un po' di tempo. Dopo quattro volumi di
questa autobiografia, lo scrittore scopre di avere impiegato due
anni della propria vita per scrivere quattro volumi e per
raccontare i primi due giorni della propria vita. Ed ecco che
allora dice: "Ma nel frattempo son passati due anni, però. Il
che vuol dire che io continuo a scrivere al ritmo di due volumi
all'anno e ogni volta faccio un giorno in più e però è passato
un altro anno. Questo è il paradosso di Zenone al contrario. Il
Tristam Shandy scopre che non è possibile scrivere la
propria biografia in maniera dettagliata, perché questo ci
porterebbe per l'appunto verso l'infinito. Un altro uso che
invece forse tutti conoscete è Kafka. Avrete letto: Il
castello, per esempio. In realtà i romanzi di Kafka sono
tutti una rappresentazione dell'infinito, al punto che, se Vi
accorgete, sono tutti incompiuti. Come mai sono incompiuti?
Perché l'idea che Kafka ci vuole dare è che, quando ci si
scontra con gli ostacoli della burocrazia non si finisce mai.
Voi siete troppo giovani e non lo sapete, ma noi che abbiamo un
po' di anni in più lo sappiamo benissimo: gli ostacoli che la
burocrazia ci frappone sono infiniti. Allora cosa può fare uno
scrittore? Può soltanto suggerire quest'idea di infinità.
Racconta tre, quattro, cinque episodi, ma poi è esattamente come
nel caso di Achille e la tartaruga. Io non sono stato a dirVi:
"E poi dopo un millimetro percorre un decimo di millimetro e
Achille gli corre dietro, e poi fa un centesimo di millimetro"
faccio i puntini e dico "e così via". Gli ostacoli sono
infiniti e non si arriverà mai alla fine. Quindi questo è un
altro dei modi in cui l'infinito arriva nella letteratura.
Borges, non so se lo conoscete, è uno scrittore moderno, morto
quindici anni fa, uno scrittore di lingua spagnola, argentino.
Ebbene moltissimi dei suoi racconti sono basati proprio su
questa idea di infinito. Lui stesso un giorno ha detto che gli
sarebbe piaciuto scrivere la storia dell'infinito e questa
storia avrebbe avuto tra i suoi protagonisti molti di quelli che
abbiamo citato oggi: Giordano Bruno, Cusano, Cantor e così via.
Molti dei suoi racconti sono per l'appunto basati su questo
concetto dell'infinito. Quindi per lo meno in letteratura
l'infinito è qualche cosa che viene suggerito da tutti questi
romanzi che ci raccontano d'infiniti ostacoli nella nostra vita
o infiniti episodi della nostra vita. Nell'arte è chiaramente
più difficile rappresentare l'infinito direttamente, però c'è
qualcuno che ci ha provato. Escher, per esempio, un grafico
molto bravo, ha fatto delle immagini, in cui una figura, si
ripete più piccola intorno, poi più piccola ancora intorno ed è
tutta iscritta in un quadrato e chiaramente questo è un
tentativo di rappresentare il paradosso di Zenone sotto forma
pittorica, cioè non si arriverà mai al bordo perché ogni volta
le figure sono più piccole, ma l'idea è che non si annullano
mai. Oppure un altro modo di rappresentare l'infinito nell'arte
è quello attraverso l'illimitato. Abbiamo parlato prima del
tempo ciclico, che è anche quella una versione del tempo
infinito. Ebbene in arte si può rappresentare qualcosa di
ciclico. Ad esempio, il nastro di Moebius, non so se lo
conoscete. Se Voi prendete un pezzo di carta e lo incollate,
quello che ottenete è un cilindro. Questo cilindro ha un dentro
e un fuori, ovviamente. Se Voi questo pezzo di carta lungo lo
prendete e invece di incollarlo così gli fate fare mezzo giro
soltanto, ecco che ottenete una striscia che è una specie di
giostra e si chiama nastro di Moebius. E la cosa interessante è
che questo nastro ha soltanto una faccia, cioè ha un dentro e,
sembrerebbe, un fuori. Però se Voi continuate a percorrerlo
scoprite che non c'è differenza tra il dentro e il fuori. Ha
solo una faccia. Questo è un modo di rappresentare l'infinito ed
è stato usato veramente tanto, per esempio dagli scultori. La
letteratura, pittura, la musica, per esempio, rappresenta
l'infinito di nuovo con questa ciclicità. Ci sono questi canoni
perpetui, ad esempio, nella musica barocca, che incominciano in
un certo modo e arrivano alla fine nello stesso modo, cioè si
possono in qualche modo incollare e si possono suonare tante
volte quante si vogliono di seguito. Questo è un modo di
rappresentare l'infinito con la musica. Quindi, anche senza
accorgercene, a volte ci sono nelle rappresentazioni artistiche
rappresentazioni dell'infinito.
DOMANDA: Spostando
l'attenzione invece su un piano temporale, è possibile parlare
di tempo senza inizio e quindi senza fine?
Dunque questo dipende dal
punto di vista. Ho accennato prima al big bang. Oggi il big bang
viene considerato, nella maggior parte delle interpretazioni,
come il momento in cui non soltanto nasce l'universo, cioè la
materia, ma addirittura nasce lo spazio e il tempo. Allora se il
tempo nasce col big bang è chiaro che non ha senso chiedersi che
cosa è successo prima, perché è nato in quel momento. Però non
tutti sono d'accordo su questo fatto. Qualcuno sostiene che il
big bang è solo l'esplosione iniziale di qualche cosa che in
realtà c'era già prima. E una delle possibilità è per l'appunto
questa: che il tempo sia infinito, all'indietro e in avanti,
cioè che prima del big bang ci sia stato qualche cosa. Qualcuno
sostiene, andando a rivedere Giordano Bruno, che il big bang sia
solo una delle possibili esplosioni di universi che ci sono al
mondo e che in realtà queste esplosioni siano tante, siano
molteplici, siano in realtà addirittura infinite, e che il
nostro universo sia come una bolla in una schiuma. Si parla
spesso delle religioni orientali, una delle immagini delle
religioni orientali per l'infinito e l'illimitato è l'oceano.
Noi siamo semplicemente delle increspature sull'oceano, come
delle piccole onde, ma la vera realtà è l'oceano che ci sta
sotto. Ebbene, addirittura nella fisica, oggi si pensa che
questa possa essere un'immagine veritiera di ciò che è il nostro
universo. Cioè il nostro universo sarebbe solo una bolla di una
enorme schiuma in cui ci sono tante, tantissime, probabilmente
infinite, altre bolle, ciascuna delle quali è un universo a se
stante, che non è più quello che diceva Giordano Bruno, cioè
infiniti mondi nel senso di infiniti sistemi solari, cioè tante
stelle tanti pianeti in questo universo, ma sono infiniti mondi
nel senso letterale, cioè infiniti universi, nei quali magari
possono valere altre leggi della fisica, in cui succedono cose
che ovviamente non possiamo sapere. Noi siamo confinati forse in
questo universo, però possiamo sognare o temere - non si sa se
sia un sogno o un incubo - che fuori di questo universo ce ne
siano infiniti altri, magari diversi, altri simili al nostro.
Quindi questa è un'idea in cui di nuovo l'infinito interviene,
sia dal punto di vista spazio-temporale, come chiedevi Tu, che
dal punto di vista proprio di proliferazione dell'universo.
DOMANDA: Le scienze naturali
o applicate hanno bisogno di utilizzare il concetto di infinito?
Ne hanno bisogno in questo
senso, molto preciso, che se Tu usi soltanto i numeri razionali,
che immagino conoscerete, Beh, i numeri razionali ovviamente
sono l'analogo del finito nella matematica, cioè hanno uno
sviluppo decimale finito, o, se non è finito, è periodico,
quindi in qualche modo si riesce a descrivere finitamente. Però
sapete anche che quasi tutti i numeri reali sono irrazionali. La
scoperta del primo irrazionale fu quella dei pitagorici: radice
di due. La radice di due è irrazionale. Cosa vuol dire questo?
Vuol dire che, se noi vogliamo scrivere lo sviluppo decimale di
radice di due, cioè scrivere radice di due come uno virgola
quattro, uno e così via, dobbiamo andare fino all'infinito.
Quindi ogni volta che Voi parlate, quando fate "analisi" - che
hanno inventato Newton e Leibniz, a cui accennavamo prima -
ogni volta che Voi parlate di numeri reali, in realtà state
parlando di infinito per ciascun numero, eccetto per quei pochi
che sono razionali, perché lo sviluppo decimale di questi numeri
è infinito. Ed ecco che allora, poiché i numeri reali sono usati
dovunque, non solo nella matematica, ma nella scienza, nelle
applicazioni fisiche, chimiche, biologiche, eccetera, ogni volta
che si usano i numeri reali, in realtà si sta usando l'infinito
in maniera magari nascosta, però diretta. È vero che si può
anche rivoltar la frittata, come sempre, e cioè dire che è vero
che per esempio radice di due ha uno sviluppo infinito, però
nelle applicazioni non si va oltre una certa cifra. Però il
fatto di non andare oltre una certa cifra significa solo che ci
fermiamo ad una certa approssimazione. Se noi vogliamo essere
più precisi dovremmo andare oltre, più precisi ancora oltre e
l'idea è che, se la precisione dovesse essere infinita, noi
dovremmo arrivare fino alla fine. Quindi sì, nella scienza la
risposta è: sì, nella scienza l'infinito viene usato ogni volta
che si usano i numeri reali, cioè: sempre. E più di così
ovviamente non si può.
DOMANDA: Al giorno d'oggi a
che serve parlare di infinito? Crea problemi o li risolve?
Anzi tutto ci ha permesso di
venire qui, il che non è poco: abbiamo fatto una trasmissione.
In realtà, come dicevo poco fa, questa è una soluzione di
problemi. Cioè il fatto di poter parlare oggi di infinito in
matematica significa poter fare, per esempio, un'analisi
matematica, poter parlare di numeri reali senza paradosso e
sapendo di che cosa si parla. È chiaro che ogni volta che si
scopre qualche cosa c'è sempre un problema. C'è un'immagine che
è una metafora che paragona la conoscenza a un'isola. E l'idea
è: man mano che l'isola della conoscenza si allarga, ovviamente
s'allarga anche il bordo, che sarebbe il confine con
l'incognito, cioè la nostra ignoranza. Quindi, potrebbe sembrare
che non vale la pena di aumentar la propria conoscenza, perché
intanto man mano che aumentiamo la conoscenza, cresce nello
stesso modo l'ignoranza, la nostra limitatezza. Però in realtà
non è così, perché - proprio perché siete un liceo scientifico
potete capire quello che sto per dire -, cioè, mentre cresce
l'isola della conoscenza, cresce la sua area, mentre invece il
bordo è in realtà soltanto una lunghezza. E allora la conoscenza
cresce in maniera praticamente quadratica, mentre invece il
bordo, l'ignoranza, cresce in maniera lineare. Quindi la
conoscenza è molto meglio che l'ignoranza. Quindi, in qualche
modo, sapere dell'infinito, conoscerlo, certo provoca dei
problemi, perché la matematica poi li deve risolvere e c'è
tutta una teoria che cerca di risolver questo, però cresce anche
la nostra conoscenza e si può applicare questa conoscenza alla
fisica, alla chimica, ma non soltanto a quello, anche
semplicemente al pensiero puro. E quindi, secondo me, c'è
certamente qualche cosa di positivo. |
L'INFINITO - Domande
(parte1)