Per i filosofi greci, Aristotele in
testa, il concetto di infinito è inteso come ciò
che non è compiuto, o come ciò che non ha limite. Il
termine "infinito" non designa una realtà ma un
processo, si chiama infinito quello che ha sempre
qualcosa oltre a sé, si tratta in altre parole di una
concezione "operativistica" dell'infinito. Esso è
qualche cosa che noi costruiamo indefinitamente, ma non
che esiste già come sistema dato di tutte le cose.
Questo tipo di infinito, così come lo intendevano i
greci, viene detto infinito potenziale, al quale
si contrappone l'infinito attuale, cioè realmente
esistente come tale in atto, introdotto successivamente
nel neoplatonismo e poi entrato a far parte della
tradizione teologica e filosofica cristiana. La
"legittimità" del concetto di infinito attuale è, sul
piano propriamente logico, una conquista recente dovuta
essenzialmente ai lavori svolti da Dedekind, il quale
nel 1872 dà la definizione di insieme infinito, e da
Cantor, il quale qualche anno dopo si accorge che non
tutti gli insiemi infiniti sono dello stesso tipo,
introducendo la nozione di numero transfinito.
Due insiemi A e B
si dicono equipotenti, se esiste una funzione
biettiva f : A --> B mentre, se
A è equipotente ad una parte propria di B,
allora si dice che la potenza (o cardinalità)
di A è minore della potenza (cardinalità) di B,
oppure che la potenza o la cardinalità di B è
maggiore della potenza di A, e si scrive Card(A) < Card(B).
L'esperienza fatta su cose
finite aveva ispirato principio secondo il quale "il
tutto è maggiore della parte" ma Galileo osservò che
l'insieme dei numeri naturali, insieme considerato
infinito dal punto di vista potenziale, può essere messo
in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei quadrati,
che sono ovviamente una parte dell'insieme dei numeri
naturali. Successivamente Bolzano trovò altre numerose
corrispondenze di questo tipo; ad esempio anche i numeri
pari possono essere messi in corrispondenza biunivoca
con l'insieme dei numeri naturali e lo stesso dicasi per
i numeri dispari. In realtà, corrispondenze biunivoche
tra i numeri naturali e taluni suoi sottoinsiemi se ne
possono trovare a bizzeffe. Seguendo lo stesso
ragionamento di Bolzano si può dimostrare che l'insieme
dei numeri naturali N è anche equipotente
all'insieme dei numeri divisibili per 3, per 4 per 5, e
cosi via... Si può anche verificare che esso è
equipotente all'insieme dei numeri interi Z, il
quale contiene l'insieme dei naturali.
Anzi, Cantor dimostrò, che l'insieme
dei numeri naturali è equipotente all'insieme dei numeri
razionali Q.
Se per ogni numero naturale n
maggiore di 0 poniamo In = {1, 2, ..., n},
sussiste il seguente
Teorema. Per ogni numero
naturale n, l'insieme In non è equipotente a
nessun suo sottoinsieme proprio.
Definizione. Un insieme A
è detto finito, se esiste un numero naturale m > 0
per il quale Im risulti equipotente ad
A.
Dalla definizione data si evince che
un sottoinsieme finito non è equipotente a nessun
sottoinsieme proprio. Questa affermazione è stata
formulata in modo molto espressivo da Dirichlet con la
seguente
Proposizione (principio delle
scatole). Siano n e m due naturali per cui si
abbia n < m. Allora se m oggetti sono distribuiti
in n scatole, qualche scatola deve contenere più di un
oggetto.
Riassumendo quanto finora detto,
abbiamo due fatti fondamentali:
-
gli insiemi finiti non sono
equipotenti a nessuna loro parte propria;
-
gli insiemi, che a nostro intuito
consideriamo infiniti (o considerati infiniti dal
punto di vista potenziale), sono equipotenti a
qualche loro sottoinsieme
Partendo da queste due osservazioni
si è giunti a dare una definizione di insieme infinito:
Definizione (Cantor - Dedekind
1872). Un insieme si dice infinito se è
equipotente a qualche sua parte propria.
Va subito detto che questa
definizione, oggi accettata da tutti, quando fu proposta
fu osteggiata da molti studiosi e da altri fu aspramente
criticata. Nella concezione precedente, l'infinito era
ottenuto per successivi ampliamenti, cioè venivano prese
quantità sempre più grandi come continuazione di un
processo che non ha limite, ed è per tale motivo che
questo tipo d'infinito è detto potenziale, perché è
considerato come un processo di ricorsione illimitato.
Con questa nuova definizione, un insieme è infinito se
gode di una ben precisa proprietà, quella di essere
equipotente ad una sua parte propria, ed è per questo
che è detto infinito in atto o infinito
attuale. Questa definizione sembra essere
paradossale, va infatti contro il senso comune secondo
il quale il tutto è maggiore della parte. In effetti
questi paradossi non nascono dalla definizione, ma sono
insiti nella natura stessa dell'infinito, infatti come
ha dimostrato lo stesso Galileo, essi si verificano
anche con la concezione dell'infinito potenziale. Anzi
la genialità della definizione sta proprio in questo,
usare questo paradosso proprio come proprietà
caratterizzante dell'infinito.
Definiamo insieme numerabile
un insieme infinito che può essere messo in
corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri
naturali. Quindi per quanto finora detto gli insiemi
Z e Q sono insiemi numerabili, mentre per
l'insieme dei numeri reali R sussiste il seguente
Teorema (Cantor). L'insieme
dei numeri reali ha una potenza maggiore dei numeri
naturali (e quindi degli interi e dei razionali).
Se un insieme è equipotente
all'insieme dei numeri reali si dice che esso ha la
potenza ( o cardinalità) del continuo.
A questo punto abbiamo due tipi
di infinito diversi, quello della cardinalità del
numerabile e quello della potenza del continuo. Viene
spontaneo chiedersi se esiste un insieme infinito la cui
cardinalità sia compresa tra la potenza del numerabile e
quella del continuo.
La risposta alla domanda è la
seguente:
Ipotesi del continuo: non
esiste nessun insieme A la cui cardinalità è
compresa tra la cardinalità del naturale e la potenza
del continuo.
Come dice lo stesso nome, questa è
appunto un'ipotesi, formulata, tra l'altro, dello stesso
Cantor. Ci sono alcuni matematici che l'accettano e
altri che la ricusano, formando cosi due filoni della
matematica, una si ottiene sviluppando la teoria sotto
quest'ipotesi e l'altra si ottiene sviluppando la teoria
come essa non esistesse.
Ritornando all'ipotesi del
continuo, due noti matematici dimostrarono i seguenti
fatti:
-
se gli assiomi di Zermelo -
Fraenkel per la teoria degli insiemi sono coerenti,
allora lo è anche la teoria che si ottiene
aggiungendo tale ipotesi come 'assioma' aggiuntivo,
ossia, se assumiamo come assioma l'ipotesi del
continuo, le teoria che né verrà fuori sarà non
contraddittoria, ammesso che lo sia la teoria degli
insiemi senza aggiungere questo assioma.(Gödel 1936)
-
Nel 1963, Cohen ha dimostrato
l'impossibilità della negazione dell'ipotesi del
continuo, ossia, se assumiamo come assioma la
negazione dell'ipotesi del continuo, la teoria che
né verrà fuori sarà non contraddittoria, ammesso che
lo sia la teoria degli insiemi senza aggiungere
questo assioma.
Quindi entrambe le scelte sono, per
cosi dire, legittime e portano a sviluppi interessanti.
D'altronde una cosa simile succede per la geometria;
considerati i primi quattro assiomi di Euclide, il V lo
si può accettare, ottenendo cosi la geometria euclidea,
o ricusare, ottenendo cosi le geometrie non euclidee.
L'ipotesi del continuo, nella teoria degli insiemi, può
essere considerato come il V postulato di Euclide per la
geometria.
